微分積分例

$y = 3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18)$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$ です。

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{7}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.2.3

$7$ に $3$ をかけます。

$21 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d t} [- 6 t^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 6 t^{4}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ です。

$21 t^{6} - 6 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 t^{6} - 6 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.3.3

$4$ に $- 6$ をかけます。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d t} [8 t^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $8 t^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.4.3

$3$ に $8$ をかけます。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d t} [- 12^{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 12^{t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [12^{t}]$ です。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.5.2

$a$ = $12$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [18]$

ステップ 3.6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

$18$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $18$ の微分係数は $0$ です。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + 0$

ステップ 3.6.2

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$ と $0$ をたし算します。

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

微分積分 例

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