微分積分例

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

ステップ 1

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

$7$ と $\frac{u}{4}$ をまとめます。

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

ステップ 5

$\frac{7}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{7}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

ステップ 6

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

ステップ 10.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

ステップ 10.1.3

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.3.1

$8$ を $16 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

ステップ 10.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

ステップ 10.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

ステップ 10.1.4

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.3.2

$2$ を $14 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.4

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.5

$\frac{7}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

ステップ 10.6

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

微分積分 例

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