微分積分例

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}]$

ステップ 2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (e^{x} + x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

ステップ 4

$f (x) = \ln (e^{x} + x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{x} + x$ とします。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x} + x$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

和の法則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{e^{x} + x}$ と $x$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.2

総和則では、 $e^{x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 8.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 8.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$

ステップ 8.3.2

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ と $\frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{x}{e^{x} + x}$ に $e^{x} + 1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

ステップ 9.1.2

$- \ln (e^{x} + x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ を掛けます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x) \cdot \frac{e^{x} + x}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

ステップ 9.1.3

$- \ln (e^{x} + x)$ と $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} + \frac{- \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

ステップ 9.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

ステップ 9.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x \cdot 1 - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

ステップ 9.1.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

ステップ 9.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

ステップ 9.1.6

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ と $\frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

ステップ 9.1.7

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 9.2.2

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{(e^{x} + x) x^{2}}$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{x^{2} (e^{x} + x)}$

微分積分 例

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