微分積分例

$y = \frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$

ステップ 1

$\frac{1}{8}$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $\frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$ の微分係数は $\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$ です。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$

ステップ 2

$f (w) = w^{5}$ および $g (w) = w^{3} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $w^{3} + 4$ とします。

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} (5 u^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $w^{3} + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} (5 {(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{5}{8} ({(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(w^{3} + 4)}^{4}$ と $\frac{5}{8}$ をまとめます。

$\frac{{(w^{3} + 4)}^{4} \cdot 5}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

ステップ 3.2.2

$5$ を ${(w^{3} + 4)}^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

ステップ 3.3

総和則では、 $w^{3} + 4$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ です。

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

ステップ 3.5

$4$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + 0)$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$3 w^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2})$

ステップ 3.6.2

$3$ と $\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ をまとめます。

$\frac{3 (5 {(w^{3} + 4)}^{4})}{8} w^{2}$

ステップ 3.6.3

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} w^{2}$

ステップ 3.6.4

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ と $w^{2}$ をまとめます。

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4} w^{2}}{8}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

二項定理を利用します。

$\frac{15 ({(w^{3})}^{4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(w^{3})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{15 (w^{3 \cdot 4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{15 (w^{12} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.2

${(w^{3})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{3 \cdot 3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{9} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.4

${(w^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{3 \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 16 + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.6

$16$ に $6$ をかけます。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.7

指数を足して $4$ に $4^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$4^{3}$ を移動させます。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.7.2

$4^{3}$ に $4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.1

$4$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4^{1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3 + 1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.7.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{4} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.8

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

ステップ 4.2.9

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 256) w^{2}}{8}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(15 w^{12} + 15 (16 w^{9}) + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$16$ に $15$ をかけます。

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

ステップ 4.4.2

$96$ に $15$ をかけます。

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

ステップ 4.4.3

$256$ に $15$ をかけます。

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

ステップ 4.4.4

$15$ に $256$ をかけます。

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 3840) w^{2}}{8}$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{15 w^{12} w^{2} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

指数を足して $w^{12}$ に $w^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$w^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 (w^{2} w^{12}) + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 w^{2 + 12} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.1.3

$2$ と $12$ をたし算します。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.2

指数を足して $w^{9}$ に $w^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

$w^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 w^{14} + 240 (w^{2} w^{9}) + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{2 + 9} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.2.3

$2$ と $9$ をたし算します。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.3

指数を足して $w^{6}$ に $w^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1

$w^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 (w^{2} w^{6}) + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{2 + 6} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.3.3

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.4

指数を足して $w^{3}$ に $w^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.4.1

$w^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 (w^{2} w^{3}) + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{2 + 3} + 3840 w^{2}}{8}$

ステップ 4.6.4.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{5} + 3840 w^{2}}{8}$

微分積分 例

微分積分例