微分積分例

$\frac{\ln (\sqrt{x})}{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 6.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11

分子を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 14

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 15.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{0}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 16

$x^{0}$ を簡約します。

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 17

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 18

項を簡約します。

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ステップ 18.1

まとめる。

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

ステップ 18.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

ステップ 18.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

ステップ 18.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - 2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

ステップ 19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{2 x^{2}}$

ステップ 20

項を簡約します。

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ステップ 20.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{2}}$

ステップ 20.2

各項を簡約します。

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ステップ 20.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2 x^{2}}$

ステップ 20.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 20.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

ステップ 20.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

ステップ 20.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (x^{1})}{2 x^{2}}$

ステップ 20.2.3

簡約します。

$\frac{1 - \ln (x)}{2 x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例