微分積分例

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

ステップ 1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

ステップ 2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$ である

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

ステップ 4.1.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{3}$ と $arcsec (| x |)$ をまとめます。

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

ステップ 4.2

$2$ および $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ で $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ の値を求めます。

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

公分母の分子をまとめます。

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

ステップ 5.2.2

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

ステップ 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ は約 $1.15470053$ 。正の数なので絶対値を削除します

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

ステップ 5.2.4

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.3

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

ステップ 5.6.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

ステップ 5.7.3

式を書き換えます。

$4 \frac{π}{6}$

ステップ 5.8

$4$ と $\frac{π}{6}$ をまとめます。

$\frac{4 π}{6}$

ステップ 5.9

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 π)}{6}$

ステップ 5.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

ステップ 5.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 π}{3}$

10進法形式：

$2.09439510 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例