微分積分例

$y = \sqrt[3]{x} (2 x - x^{2})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 2 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.8

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$2$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.2

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.2.2

$x$ に $x^{\frac{1}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.2.5

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.3

$- 2$ を $x^{\frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.4

$2$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.5

$x$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.7

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.8

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.8.1

$x^{- \frac{2}{3}}$ を移動させます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.8.2

$x^{- \frac{2}{3}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.8.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.8.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.8.5

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.9

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3.10

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.11

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.11.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.11.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.11.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.11.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.11.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.11.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.11.5.2

$6$ から $2$ を引きます。

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.12

$2 x^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.13

$2 x^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.14

公分母の分子をまとめます。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.15

$3$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.16

$6 x^{\frac{1}{3}}$ と $2 x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.17

$- 2 x^{\frac{4}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.18

$- 2 x^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.20

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 6 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.21

$- 6 x^{\frac{4}{3}}$ から $x^{\frac{4}{3}}$ を引きます。

$\frac{- 7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.22

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.4

項を並べ替えます。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$

微分積分 例

微分積分例