微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

ステップ 1.1.4.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ です。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$3 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.4

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ の各項に $3 x^{\frac{1}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ の各項に $3 x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.4.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.4.2.3

$x^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.4.2.3.2

式を書き換えます。

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$3$ に $- 2$ をかけます。

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ として書き換えます。

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

ステップ 2.5.2

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

ステップ 2.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

$2$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

ステップ 2.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

ステップ 2.5.4

指数を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

ステップ 2.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

ステップ 2.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

${(- \frac{1}{3})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

ステップ 2.5.4.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

ステップ 2.5.4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

ステップ 2.5.4.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$x = - \frac{1}{27}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

ステップ 3.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{1} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 x = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x = 0$

ステップ 3.3.3

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{1}{27}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{1}{27}$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{27}$ に当てはめます。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.3

積の法則を $\frac{1}{27}$ に当てはめます。

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.5

$27$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.6

$\frac{1}{729}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.7

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ を $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.8

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.9

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.9.1

$729$ を $9^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.9.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.10

$2 (- \frac{1}{27})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

ステップ 4.1.2.1.10.2

$- 2$ と $\frac{1}{27}$ をまとめます。

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

ステップ 4.1.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.2.3.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

ステップ 4.1.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - 2}{27}$

ステップ 4.1.2.5

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{27}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

ステップ 4.2.2.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

ステップ 4.2.2.1.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0 + 2 (0)$

ステップ 4.2.2.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例