微分積分例

$f (x) = \sin (a x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ に $1$ をかけます。

$\cos (a x) a$

ステップ 1.2.3.2

$\cos (a x) a$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = a \cos (a x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a \cos (a x)$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ です。

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x$ とします。

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 2.3

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.4

$a$ を $1$ 乗します。

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.5

$a$ を $1$ 乗します。

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

ステップ 2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a^{2} (- \sin (a x))$

ステップ 2.9.2

$a^{2} (- \sin (a x))$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- a^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- a^{2} \sin (a x)$ の微分係数は $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ です。

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x$ とします。

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 3.3

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$a$ を $1$ 乗します。

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

ステップ 3.8

$\cos (a x)$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$- a^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- a^{3} \cos (a x)$ の微分係数は $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ です。

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

ステップ 4.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x$ とします。

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.3.2

$a^{3}$ に $1$ をかけます。

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.3.3

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.4

指数を足して $a^{3}$ に $a$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$a$ を移動させます。

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.4.2

$a$ に $a^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.4.2.1

$a$ を $1$ 乗します。

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

ステップ 4.6

$\sin (a x)$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $a^{4} \sin (a x)$ です。

$a^{4} \sin (a x)$

微分積分 例

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