微分積分例

$\frac{\log_{5} (x)}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = \log_{5} (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\log_{5} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (5)}$ です。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x \ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $x \ln (5)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5

$\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ に $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ をかけます。

$\frac{\ln (5)}{\ln (5)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

まとめる。

$\frac{\ln (5) (\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 6.3

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) (2 x))}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x + \ln (5) (- 2 \log_{5} (x) x)}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{5} (x)$ を簡約します。

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 9.1.2

$x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x - x \ln (5) \log_{5} (x^{2})}{\ln (5) x^{4}}$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (5)}$

ステップ 9.3

$x$ を $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x$ で因数分解します。

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ステップ 9.3.1

$x$ を $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (5)}$

ステップ 9.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (5)}$

ステップ 9.3.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (5)}$

ステップ 9.3.4

$x$ を $x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

ステップ 9.4

$2$ を対数の外に移動させて、 $\log_{5} (x^{2})$ を展開します。

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

ステップ 9.5

共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$x$ を $x^{4} \ln (5)$ で因数分解します。

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$\frac{- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

ステップ 9.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \ln (5) \log_{5} (x) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

ステップ 9.7

$- 1$ を $- 2 \ln (5) \log_{5} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

ステップ 9.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (5)}$

ステップ 9.9

$- 1$ を $- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

ステップ 9.10

$- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ を $- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

ステップ 9.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1}{x^{3} \ln (5)}$

微分積分 例

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