微分積分例

$- 1 + x^{3} - 5 y^{3} = - y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- 1 + x^{3} - 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $- 1 + x^{3} - 5 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

ステップ 2.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$0 + 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$0 + 3 x^{2} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2} - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} y')$

ステップ 2.2.4

$3$ に $- 5$ をかけます。

$0 + 3 x^{2} - 15 y^{2} y'$

ステップ 2.3

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 15 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 2 y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} - 15 y^{2} y' = - 2 y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2 y y'$ を足します。

$3 x^{2} - 15 y^{2} y' + 2 y y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$- 15 y^{2} y' + 2 y y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$y y'$ を $- 15 y^{2} y' + 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y y'$ を $- 15 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y y' (- 15 y) + 2 y y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$y y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y y' (- 15 y) + y y' \cdot 2 = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$y y'$ を $y y' (- 15 y) + y y' \cdot 2$ で因数分解します。

$y y' (- 15 y + 2) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$y y' (- 15 y + 2) = - 3 x^{2}$ の各項を $y (- 15 y + 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y y' (- 15 y + 2) = - 3 x^{2}$ の各項を $y (- 15 y + 2)$ で割ります。

$\frac{y y' (- 15 y + 2)}{y (- 15 y + 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (- 15 y + 2)}{y (- 15 y + 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- 15 y + 2)}{- 15 y + 2} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

ステップ 5.4.2.2

$- 15 y + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 15 y + 2)}{- 15 y + 2} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 15 y + 2)}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- 15 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- (15 y) + 2)}$

ステップ 5.4.3.3

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- (15 y) - 1 (- 2))}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- (15 y) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- (15 y - 2))}$

ステップ 5.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.5.1

$- (15 y - 2)$ を $- 1 (15 y - 2)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (15 y - 2))}$

ステップ 5.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

ステップ 5.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

ステップ 5.4.3.5.4

$\frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (15 y - 2)}$

微分積分 例

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