微分積分例

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

ステップ 1

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u = 1 - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 1.3

$1$ から $0$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 0.5$

ステップ 1.5.2

$1$ から $0.5$ を引きます。

$u_{upper} = 0.5$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

ステップ 2

$- (- u + 1) u^{3}$ を掛けます。

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

ステップ 3.2

$u$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

ステップ 3.3

指数を足して $u$ に $u^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$u$ に $u^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.3.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

ステップ 3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

ステップ 3.3.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

ステップ 3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

ステップ 3.5

$- 1 u^{3}$ を $- u^{3}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$0.5$ および $1$ で $\frac{1}{5} u^{5}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

ステップ 9.2

$0.5$ および $1$ で $\frac{u^{4}}{4}$ の値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$0.5$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{5}$ と $0.03125$ をまとめます。

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.6

$0.03125$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.8

$0.5$ を $4$ 乗します。

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 9.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

ステップ 9.3.10

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

ステップ 9.3.11

$0.0625$ から $1$ を引きます。

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

ステップ 9.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

ステップ 9.3.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

ステップ 9.3.14

$\frac{0.9375}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

ステップ 9.3.15

$- \frac{0.96875}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

ステップ 9.3.16

$\frac{0.9375}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 9.3.17

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $20$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.17.1

$\frac{0.96875}{5}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 9.3.17.2

$5$ に $4$ をかけます。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 9.3.17.3

$\frac{0.9375}{4}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

ステップ 9.3.17.4

$4$ に $5$ をかけます。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

ステップ 9.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

ステップ 9.3.19

$- 0.96875$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

ステップ 9.3.20

$0.9375$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

ステップ 9.3.21

$- 3.875$ と $4.6875$ をたし算します。

$\frac{0.8125}{20}$

ステップ 10

$0.8125$ を $20$ で割ります。

$0.040625$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例