微分積分例

$y = \cos (x^{2}) \cdot \sin (x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x^{2})$ および $g (x) = \sin (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 3

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 4

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 7

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - 2 \sin^{2} (x^{2}) x$

ステップ 13.2

項を並べ替えます。

$2 x \cos^{2} (x^{2}) - 2 x \sin^{2} (x^{2})$

微分積分 例

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