微分積分例

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 2$

ステップ 1.3

$0$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 1.4

$u = x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 - 2$

ステップ 1.5

$4$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ および $- 2$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

ステップ 4.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.4

$- \frac{1}{2}$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$- 2 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.2.5

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2}$

ステップ 4.2.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.6.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 4.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 4.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.2.6.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例