微分積分例

$lim_{x \to a} {(2 x - 1)}^{5}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $5$ を ${(2 x - 1)}^{5}$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to a} 2 x - 1)}^{5}$

ステップ 1.2

$x$ が $a$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

${(lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

ステップ 1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

${(2 lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

ステップ 1.4

$x$ が $a$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

${(2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1)}^{5}$

ステップ 2

$x$ を $a$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

${(2 a - 1 \cdot 1)}^{5}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(2 a - 1)}^{5}$

ステップ 3.2

二項定理を利用します。

${(2 a)}^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

$2^{5} a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $5$ 乗します。

$32 a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.3

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

$32 a^{5} + 5 (2^{4} a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.4

$2$ を $4$ 乗します。

$32 a^{5} + 5 (16 a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.5

$16$ に $5$ をかけます。

$32 a^{5} + 80 a^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ に $80$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.7

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (2^{3} a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.8

$2$ を $3$ 乗します。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (8 a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.9

$8$ に $10$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} \cdot 1 + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.11

$80$ に $1$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.12

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (2^{2} a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.13

$2$ を $2$ 乗します。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (4 a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.14

$4$ に $10$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.15

$- 1$ を $3$ 乗します。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} \cdot - 1 + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.16

$- 1$ に $40$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.17

$2$ に $5$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.18

$- 1$ を $4$ 乗します。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a \cdot 1 + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.19

$10$ に $1$ をかけます。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a + {(- 1)}^{5}$

ステップ 3.3.20

$- 1$ を $5$ 乗します。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a - 1$

微分積分 例

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