微分積分例

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

ステップ 1

$f (t) = 1 + a t$ および $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 2}$ および $g (t) = c t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $c t$ とします。

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $c t$ で置き換えます。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$c$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $c t$ の微分係数は $c \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 3.3

$c$ に $1$ をかけます。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

ステップ 3.4

総和則では、 $1 + a t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ です。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

ステップ 3.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

ステップ 3.6

$0$ と $\frac{d}{d t} [a t]$ をたし算します。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

ステップ 3.7

$a$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $a t$ の微分係数は $a \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

ステップ 3.9

${(c t)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $c t$ に当てはめます。

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

ステップ 4.2

積の法則を $c t$ に当てはめます。

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$c$ を $1$ 乗します。

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.3

$1$ から $3$ を引きます。

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.5

$c$ を $1$ 乗します。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.7

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.8

$t$ を $1$ 乗します。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.10

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

ステップ 4.4.11

$a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ と $a c^{- 2} t^{- 2}$ をたし算します。

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ステップ 4.4.11.1

$a$ と $- 2$ を並べ替えます。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.4.11.2

$- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ と $a c^{- 2} t^{- 2}$ をたし算します。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.5.2

$- 2$ と $\frac{1}{c^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.5.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.5.5

$\frac{1}{t^{3}}$ に $\frac{2}{c^{2}}$ をかけます。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

ステップ 4.5.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

ステップ 4.5.7

$\frac{1}{c^{2}}$ と $a$ をまとめます。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

ステップ 4.5.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

ステップ 4.5.9

$\frac{1}{t^{2}}$ に $\frac{a}{c^{2}}$ をかけます。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$

微分積分 例

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