微分積分例

$\ln (x y) + 5 x = 30$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\ln (x y) + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 5$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$x$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 5$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{x}{x y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

ステップ 2.4.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

ステップ 2.4.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 5$

ステップ 2.4.2.4

$\frac{1}{x y}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

ステップ 2.4.2.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

ステップ 2.4.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5$

ステップ 3

$30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $30$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{y'}{y} + 5 = - \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 5$

ステップ 5.2

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = (- \frac{1}{x} - 5) y$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$(- \frac{1}{x} - 5) y$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = - \frac{1}{x} y - 5 y$

ステップ 5.3.2.1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y' = - \frac{y}{x} - 5 y$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 5 y$

微分積分 例

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