微分積分例

$e^{\frac{x}{y}} = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.5

$e^{\frac{x}{y}}$ と $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ の因数を並べ替えます。

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3.3

$x$ を移動させます。

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3.4

$y e^{\frac{x}{y}}$ と $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ を並べ替えます。

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y e^{\frac{x}{y}}$ を引きます。

$- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

ステップ 5.3.2

$- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ の各項を $- x e^{\frac{x}{y}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- y' x e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ の各項を $- x e^{\frac{x}{y}}$ で割ります。

$\frac{- y' x e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.2.3

$e^{\frac{x}{y}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' e^{\frac{x}{y}}}{e^{\frac{x}{y}}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.3.1.3

$e^{\frac{x}{y}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y e^{\frac{x}{y}}}{x e^{\frac{x}{y}}}$

ステップ 5.3.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x e^{\frac{x}{y}}} + \frac{y}{x}$

微分積分 例

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