微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 2$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u = x^{3} + 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 2$

ステップ 1.3.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = x^{3} + 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 2$

ステップ 1.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ および $2$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $3^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $3^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

指数を足して $3^{\frac{3}{2}}$ に $3^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

$3^{- 1}$ を移動させます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.4

$2^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

ステップ 6.2.5

指数を足して $2^{\frac{3}{2}}$ に $2$ を掛けます。

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ステップ 6.2.5.1

$2^{\frac{3}{2}}$ に $2$ をかけます。

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ステップ 6.2.5.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

ステップ 6.2.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

ステップ 6.2.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.5.4

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.2

$\frac{2}{3}$ と $3^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

ステップ 7.3

$\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

ステップ 7.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 7.4

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $3^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 7.4.2

指数を足して $3$ に $3^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.1

$3$ に $3^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 7.4.2.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 7.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 7.4.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 7.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 7.4.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

10進法形式：

$0.52616117 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例