微分積分例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

ステップ 1

$u = 3 + \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 + \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 + \sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 + \cos (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\cos (x)$

ステップ 1.2

$u = 3 + \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

ステップ 1.3.5.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

ステップ 1.4

$u = 3 + \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 3 + 1$

ステップ 1.5.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

ステップ 3

$4$ および $\frac{7}{2}$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

ステップ 5.2

$\frac{7}{2}$ は約 $3.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

ステップ 5.4

$4 (\frac{2}{7})$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1

$4$ と $\frac{2}{7}$ をまとめます。

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

ステップ 5.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\ln (\frac{8}{7})$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\frac{8}{7})$

10進法形式：

$0.13353139 \dots$

微分積分 例

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