微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

ステップ 1

$u = 1 + \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + \ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$0 + \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u = 1 + \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$1 + \ln (3)$ および $1$ で $\frac{1}{4} u^{4}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{4}$ と ${(1 + \ln (3))}^{4}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

ステップ 3.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 3.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

10進法形式：

$4.59918613 \dots$

微分積分 例

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