微分積分例

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

ステップ 1

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ を $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ に書き換えます。

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.2.1

$\tan (x)$ と $\cot (x)$ を並べ替えます。

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.2.2

正弦と余弦に関して $\tan (x) \cot (x)$ を書き換えます。

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.3

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.3.1

正弦と余弦に関して $\cot (x) \tan (x)$ を書き換えます。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.4

$\cot (x) \cot (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.4.1

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

ステップ 4.3.1.4.2

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

ステップ 4.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 4.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

ステップ 9

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

ステップ 11

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (x)$ を $- 1 + \csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

ステップ 12

単一積分を複数積分に分割します。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

ステップ 14

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

簡約します。

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ステップ 15.1.1

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

ステップ 15.1.2

$x$ から $x$ を引きます。

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

ステップ 15.1.3

$C + \tan (x) + C + C$ と $0$ をたし算します。

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

ステップ 15.2

簡約します。

$\tan (x) - \cot (x) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$

微分積分 例

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