微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1^{2}$

ステップ 2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2^{2}$

ステップ 2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ を ${u_{1}}^{- 1}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ を ${u_{1}}^{- 2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2.4.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

ステップ 3.4

$\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ と ${u_{1}}^{- 2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

ステップ 3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${u_{1}}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 5.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ とします。次に $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ すると、 $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2 {u_{1}}^{- 1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 {u_{1}}^{- 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

ステップ 6.1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

ステップ 6.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

ステップ 6.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

ステップ 6.1.5.2

$- 2$ と $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

ステップ 6.1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

ステップ 6.2

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 6.3.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 6.3.2.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 2$

ステップ 6.4

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

ステップ 6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 6.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

$- \frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ および $2$ で $e^{u_{2}}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

ステップ 11.2

$e^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

ステップ 11.3

$- \frac{1}{4} (- e^{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

ステップ 11.3.3

$\frac{1}{4}$ と $e^{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

10進法形式：

$1.43508370 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例