微分積分例

$- x^{3} = - 4 + 4 y^{2} - 3 y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 + 4 y^{2} - 3 y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2})$

ステップ 2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $- 4 + 4 y^{2} - 3 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.1.2

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$0 + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.2.4

$2$ に $4$ をかけます。

$0 + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 y^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$0 + 8 y y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$0 + 8 y y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 8 y y' - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 + 8 y y' - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + 8 y y' - 3 (3 y^{2} y')$

ステップ 3.3.4

$3$ に $- 3$ をかけます。

$0 + 8 y y' - 9 y^{2} y'$

ステップ 3.4

$0$ と $8 y y'$ をたし算します。

$8 y y' - 9 y^{2} y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 3 x^{2} = 8 y y' - 9 y^{2} y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $8 y y' - 9 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ として書き換えます。

$8 y y' - 9 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.2

$y y'$ を $8 y y' - 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y y'$ を $8 y y'$ で因数分解します。

$y y' \cdot 8 - 9 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.2.2

$y y'$ を $- 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y y' \cdot 8 + y y' (- 9 y) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.2.3

$y y'$ を $y y' \cdot 8 + y y' (- 9 y)$ で因数分解します。

$y y' (8 - 9 y) = - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$y y' (8 - 9 y) = - 3 x^{2}$ の各項を $y (8 - 9 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y y' (8 - 9 y) = - 3 x^{2}$ の各項を $y (8 - 9 y)$ で割ります。

$\frac{y y' (8 - 9 y)}{y (8 - 9 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (8 - 9 y)}{y (8 - 9 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (8 - 9 y)}{8 - 9 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$8 - 9 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (8 - 9 y)}{8 - 9 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{y (8 - 9 y)}$

微分積分 例

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