微分積分例

$lim_{y \to 2} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{1}{3}$ を ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2

$y$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 3

$y$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4

$4$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

${(\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $y^{3}$ から極限値外側に移動させます。

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 6

$8$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 7

$y$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8

$y$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 9

すべての $y$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$y$ を $2$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 9.2

$y$ を $2$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 9.3

$y$ を $2$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ と $2 + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.1

$2$ を $4 \cdot 2^{3}$ で因数分解します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.2

$2$ を $8 \cdot 2$ で因数分解します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.3

$2$ を $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ で因数分解します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.4

共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1) + 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.4.3

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.4.4

共通因数を約分します。

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.1.4.5

式を書き換えます。

${(\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

指数を足して $2$ に $2^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$2$ に $2^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

${(\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{2^{1 + 3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.2.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

${(\frac{2^{4} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.2.2

$2$ を $4$ 乗します。

${(\frac{16 + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

${(\frac{16 + 8}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.2.4

$16$ と $8$ をたし算します。

${(\frac{24}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.3

$1$ と $2$ をたし算します。

${(\frac{24}{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.4

$24$ を $3$ で割ります。

$8^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.5

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 10.6

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 10.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.7.1

共通因数を約分します。

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 10.7.2

式を書き換えます。

$2^{1}$

ステップ 10.8

指数を求めます。

$2$

微分積分 例

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