微分積分例

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x (x^{2} + 6)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $x^{2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

ステップ 3.9

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.9.1

$x^{2} + 6$ に $1$ をかけます。

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

ステップ 3.9.2

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$5 (3 x^{2} + 6)$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

分配則を当てはめます。

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

ステップ 3.10.2

項をまとめます。

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ステップ 3.10.2.1

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

ステップ 3.10.2.2

$5$ に $6$ をかけます。

$15 x^{2} + 30$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 15 x^{2} + 30$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$

微分積分 例

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