微分積分例

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x + 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{1} = x + 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 + 2$

ステップ 3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 3.4

$u_{1} = x + 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = t + 2$

ステップ 3.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

ステップ 3.6

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \ln (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ すると、 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = \ln (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\ln (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}}$

ステップ 4.2

$u_{2} = \ln (u_{1})$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (4)$

ステップ 4.3

$u_{2} = \ln (u_{1})$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

ステップ 4.4

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

ステップ 4.5

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 5.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

ステップ 7

$\ln (t + 2)$ および $\ln (4)$ で $- {u_{2}}^{- 1}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$5$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

ステップ 8.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

ステップ 8.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ は $0$ に近づきます。

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

ステップ 8.5

極限を求めます。

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ステップ 8.5.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\ln^{- 1} (4)$ の極限値を求めます。

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

ステップ 8.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 8.5.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

ステップ 8.5.2.2

$0$ と $\frac{1}{\ln (4)}$ をたし算します。

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

ステップ 8.5.2.3

$5$ と $\frac{1}{\ln (4)}$ をまとめます。

$\frac{5}{\ln (4)}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{\ln (4)}$

10進法形式：

$3.60673760 \dots$

微分積分 例

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