微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

ステップ 2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

ステップ 3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

ステップ 4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

ステップ 6

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $x^{2} (- \cos (x))$ の値を求めます。

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

ステップ 7.1.2

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $x \sin (x)$ の値を求めます。

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

ステップ 7.1.3

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4

簡約します。

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ステップ 7.1.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.4

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.5

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ と $0$ をたし算します。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.6

$\frac{π}{2}$ と $\sin (\frac{π}{2})$ をまとめます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.7

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.8

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ と $0$ をたし算します。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

ステップ 7.1.4.9

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 7.1.4.10

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

ステップ 7.1.4.11

公分母の分子をまとめます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

ステップ 7.1.4.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

ステップ 7.1.4.13

$2$ と $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ をまとめます。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

ステップ 7.1.4.14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.4.14.1

共通因数を約分します。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

ステップ 7.1.4.14.2

$π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ を $1$ で割ります。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

ステップ 7.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

ステップ 7.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

ステップ 7.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

ステップ 7.2.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

ステップ 7.2.6

${(\frac{π}{2})}^{2}$ に $0$ をかけます。

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

ステップ 7.2.7

$π$ に $1$ をかけます。

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

ステップ 7.2.8

$0$ と $π$ をたし算します。

$π - 2 (- 0 + 1)$

ステップ 7.2.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π - 2 (0 + 1)$

ステップ 7.2.10

$0$ と $1$ をたし算します。

$π - 2 \cdot 1$

ステップ 7.2.11

$- 2$ に $1$ をかけます。

$π - 2$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$π - 2$

10進法形式：

$1.14159265 \dots$

微分積分 例

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