微分積分例

$x + \cos (x + y) = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x + \cos (x + y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

ステップ 5.1.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

ステップ 5.1.1.2

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ の因数を並べ替えます。

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $\sin (x + y)$ を足します。

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

ステップ 5.3

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ の各項を $- \sin (x + y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ の各項を $- \sin (x + y)$ で割ります。

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.2.2

$\sin (x + y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$\sin (x + y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.3

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

ステップ 5.3.3.1.4

$\frac{1}{\sin (x + y)}$ を $\csc (x + y)$ に変換します。

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$

微分積分 例

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