微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} {(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} {(x^{2} - 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x^{2} - 4)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x^{2} - 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(0^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{{(0 - 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 ${(x^{2} - 4)}^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{2} - 4) x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{2} - 4) x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.3.4

$4$ に $- 4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.3.5

$4 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{2 x}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.4

$16$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0^{3} - 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0^{3} - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0 - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.6.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.6.1.3

$- 16$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $4 x^{3} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16}{1}$

ステップ 3.4

$12 x^{2} - 16$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 12 x^{2} - 16$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

ステップ 4.2

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

ステップ 4.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} (12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16)$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16)$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

ステップ 6.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 16)$

ステップ 6.1.3

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 - 16)$

ステップ 6.2

$0$ から $16$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot - 16$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 8))$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 8)$

ステップ 6.3.3

式を書き換えます。

$- 8$

微分積分 例

微分積分例