微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$8$ を $9$ プラス $- 1$ に書き換える

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

ステップ 2.4

$a = 1$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

ステップ 3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

ステップ 4

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{3})$ である

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

ステップ 6

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ を $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ に書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$

微分積分 例

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