微分積分例

$\int (\sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5)) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int \sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (2 x + 5) d x$

ステップ 5

$u = 2 x + 5$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

ステップ 8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $2 x + 5$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (2 x + 5) + C$

微分積分 例

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