微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

ステップ 2

$- 1 u^{3}$ を $- u^{3}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ と $u^{4}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ および $1$ で $\frac{u^{4}}{4}$ の値を求めます。

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

ステップ 6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

ステップ 7.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

ステップ 7.2.3

$2$ を $4$ 乗します。

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

ステップ 7.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

ステップ 7.4

$- 1$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

ステップ 7.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

ステップ 7.6.2

$1$ から $16$ を引きます。

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

ステップ 7.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

ステップ 7.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 7.9

$- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 7.9.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{15}{16}$ をかけます。

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

ステップ 7.9.2

$4$ に $16$ をかけます。

$- - \frac{15}{64}$

ステップ 7.10

$- - \frac{15}{64}$ を掛けます。

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ステップ 7.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{15}{64})$

ステップ 7.10.2

$\frac{15}{64}$ に $1$ をかけます。

$\frac{15}{64}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{15}{64}$

10進法形式：

$0.234375$

微分積分 例

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