微分積分例

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{1 x^{2} - 2 x}{x^{2} - x - 2}$

ステップ 1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - x - 2}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 2 x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 2 x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 2 x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2^{-}} x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.4

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2^{-}} x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.5.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.2.5.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

ステップ 2.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.4

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.4.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 - 2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 2.1.3.5.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 2 - 2}$

ステップ 2.1.3.5.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 2.1.3.5.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

ステップ 2.3.5

総和則では、 $x^{2} - x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 2.3.7

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 2.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 2.3.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 2.3.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1 + 0}$

ステップ 2.3.9

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

ステップ 3.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - lim_{x \to 2^{-}} 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

ステップ 3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

ステップ 3.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

ステップ 3.5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - lim_{x \to 2^{-}} 1}$

ステップ 3.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 1}$

ステップ 3.7

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 4

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{4 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{4 - 1}$

ステップ 5.2.3

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例