微分積分例

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

ステップ 3

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 3.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 3.1.4

簡約します。

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ステップ 3.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 3.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 3.2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = e^{0}$

ステップ 3.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1$

ステップ 3.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

ステップ 3.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

ステップ 3.6

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

ステップ 5.2

$e^{t^{2}}$ および $1$ で $\frac{u_{2}}{2}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 6

関数 $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 6.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 6.2

極限を求めます。

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ステップ 6.2.1

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

ステップ 6.2.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

ステップ 6.2.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

ステップ 6.3

指数 $t^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{t^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

ステップ 6.4

極限を求めます。

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ステップ 6.4.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

ステップ 6.4.2

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

ステップ 6.4.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty - 1}{2}$

ステップ 6.4.3.1.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{2}$

ステップ 6.4.3.2

無限大割る有限または0ではない数は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

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