微分積分例

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | x^{2} - 1 |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| x^{2} - 1 |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| x^{2} - 1 |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

ステップ 2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 3

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ に $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 5

$x^{2} - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 6

$x^{2} - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 9

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

ステップ 12

分数をまとめます。

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ステップ 12.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

ステップ 12.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

ステップ 12.3

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13.3

各項を簡約します。

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ステップ 13.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 13.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 13.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

ステップ 13.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

微分積分 例

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