微分積分例

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \frac{3}{1 + x}$ ならば $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積の法則を $\frac{3}{1 + x}$ に当てはめます。

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

ステップ 4

$9$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 5

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = 1 + x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 1 + x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 3$

ステップ 5.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 6.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

ステップ 8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$4$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

ステップ 8.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

ステップ 8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

ステップ 8.2.5

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

ステップ 8.2.6

$\frac{3}{4}$ と $9$ をまとめます。

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

ステップ 8.2.7

$3$ に $9$ をかけます。

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

ステップ 8.2.8

$\frac{27}{4}$ と $π$ をまとめます。

$V = \frac{27 π}{4}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{27 π}{4}$

10進法形式：

$V = 21.20575041 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例