微分積分例

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

ステップ 1

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x$

ステップ 4

$u = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int x \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5

$x$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 6

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 6.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u$

ステップ 7.2

$2$ を $u^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 9.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 9.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 9.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 11

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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