微分積分例

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$2$ を $(e^{x} + 1) e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot ((e^{x} + 1) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

指数を足して $e^{2 x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{x + 2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1.1.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.3.1.1.3

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.3.2

$2 e^{3 x}$ から $e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例