微分積分例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x) (\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x)}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)}}^{2} + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} x + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} (- x) - x^{2}}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420 + 0}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

ステップ 2.2.2

$4041 x + 4082420$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

ステップ 3

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.1.2

$4041$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 4.2

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4041$ の極限値を求めます。

$\frac{4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 4.6

$4082420$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4041 + 4082420 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 2020) (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2021) + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.4

$x$ と $2021$ を並べ替えます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2021 \cdot x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.8.2

$2020$ に $2021$ をかけます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.8.3

$2021 x$ と $2020 x$ をたし算します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4041 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 7.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.2

$f (x) = x + 2020$ および $g (x) = x + 2021$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \frac{d}{d x} [x + 2021] + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.3

総和則では、 $x + 2021$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]$ です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.5

$2021$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2021$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + 0) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \cdot 1 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.7

$x + 2020$ に $1$ をかけます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.8

総和則では、 $x + 2020$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020]$ です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.10

$2020$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2020$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.12

$x + 2021$ に $1$ をかけます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + x + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.13

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2020 + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.14

$2020$ と $2021$ をたし算します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{2 x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10.6

$4041$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 11

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 12

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 12.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + 1}$

ステップ 12.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2 + 4041 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

ステップ 12.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$4082420$ に $0$ をかけます。

$\frac{4041 + 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

ステップ 12.3.2.2

$4041$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

ステップ 12.3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.3.1

$4041$ に $0$ をかけます。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)} + 1}$

ステップ 12.3.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

ステップ 12.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{2}{2}} + 1}$

ステップ 12.3.3.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{4041}{\sqrt{1} + 1}$

ステップ 12.3.3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{4041}{1 + 1}$

ステップ 12.3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4041}{2}$

微分積分 例

微分積分例