微分積分例

$- y^{3} - 5 y - 3 y^{2} - 5 x^{3} = x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 5 y - 3 y^{2} - 5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- y^{3} - 5 y - 3 y^{2} - 5 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- 3 y^{2} y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 y^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.4.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' - 5 (3 x^{2})$

ステップ 2.5.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' - 15 x^{2}$

ステップ 2.6

項を並べ替えます。

$- 15 x^{2} - 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y'$

ステップ 3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 15 x^{2} - 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y' = 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $15 x^{2}$ を足します。

$- 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y' = 2 x + 15 x^{2}$

ステップ 5.2

$y'$ を $- 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $- 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) - 6 y y' - 5 y' = 2 x + 15 x^{2}$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- 6 y y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 6 y) - 5 y' = 2 x + 15 x^{2}$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $- 5 y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 6 y) + y' \cdot - 5 = 2 x + 15 x^{2}$

ステップ 5.2.4

$y'$ を $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 6 y)$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} - 6 y) + y' \cdot - 5 = 2 x + 15 x^{2}$

ステップ 5.2.5

$y'$ を $y' (- 3 y^{2} - 6 y) + y' \cdot - 5$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5) = 2 x + 15 x^{2}$

ステップ 5.3

$y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5) = 2 x + 15 x^{2}$ の各項を $- 3 y^{2} - 6 y - 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5) = 2 x + 15 x^{2}$ の各項を $- 3 y^{2} - 6 y - 5$ で割ります。

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} = \frac{2 x}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} + \frac{15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 3 y^{2} - 6 y - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} = \frac{2 x}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} + \frac{15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} + \frac{15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x + 15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.3.2

$x$ を $2 x + 15 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x \cdot 2 + 15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.3.2.2

$x$ を $15 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x \cdot 2 + x (15 x)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.3.2.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (15 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2}) - 6 y - 5}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- 6 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2}) - (6 y) - 5}$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ を $- (3 y^{2}) - (6 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2} + 6 y) - 5}$

ステップ 5.3.3.6

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2} + 6 y) - 1 (5)}$

ステップ 5.3.3.7

$- 1$ を $- (3 y^{2} + 6 y) - 1 (5)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2} + 6 y + 5)}$

ステップ 5.3.3.8

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.3.3.8.1

$- (3 y^{2} + 6 y + 5)$ を $- 1 (3 y^{2} + 6 y + 5)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- 1 (3 y^{2} + 6 y + 5)}$

ステップ 5.3.3.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x (2 + 15 x)}{3 y^{2} + 6 y + 5}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (2 + 15 x)}{3 y^{2} + 6 y + 5}$

微分積分 例

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