微分積分例

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

ステップ 1

群による因数分解。

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ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

ステップ 1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

ステップ 1.2.2

$- 4$ を $2$ プラス $- 6$ に書き換える

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

ステップ 1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

ステップ 1.4

最大公約数 $- x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

ステップ 2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

ステップ 3

平方を完成させます。

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ステップ 3.1

式を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 2) (x + 6)$ を展開します。

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ステップ 3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

ステップ 3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

ステップ 3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

ステップ 3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

ステップ 3.1.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

ステップ 3.1.2.1.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

ステップ 3.1.2.1.3

$2$ に $6$ をかけます。

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

ステップ 3.1.2.2

$- 6 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- x^{2} - 4 x + 12$

ステップ 3.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

ステップ 3.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$\frac{- 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 2$

ステップ 3.4.2.2

$- 1 \cdot - 2$ を $- - 2$ に書き換えます。

$d = - - 2$

ステップ 3.4.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$d = 2$

ステップ 3.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2.1.1.6

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

ステップ 3.5.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 12 - - 4$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 12 + 4$

ステップ 3.5.2.2

$12$ と $4$ をたし算します。

$e = 16$

ステップ 3.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 2)}^{2} + 16$ に代入します。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

ステップ 4

$u = x + 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

ステップ 5.2

$- u^{2}$ と $4^{2}$ を並べ替えます。

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{4})$ である

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

ステップ 7

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ を $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ に書き換えます。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

ステップ 9.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

ステップ 9.3.3

式を書き換えます。

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$

微分積分 例

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