微分積分例

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{1} = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 3.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 3.4

$u_{1} = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 3.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

ステップ 5

$u_{2} = x + 4$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{2} = x + 4$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 5.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{2} = x + 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 4$

ステップ 5.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 5.4

$u_{2} = x + 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 4$

ステップ 5.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 6.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 7

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ および $1$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

ステップ 8.2

$5$ および $4$ で $- {u_{2}}^{- 1}$ の値を求めます。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

ステップ 8.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

ステップ 8.3.3

$- \frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 8.3.4

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 8.3.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $20$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.5.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 8.3.5.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 8.3.5.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

ステップ 8.3.5.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

ステップ 8.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

ステップ 8.3.7

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

ステップ 9

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

ステップ 10.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

ステップ 10.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

10進法形式：

$0.74314718 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例