微分積分例

$- 2 y = - 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- 2 y) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 2 y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$- 10 x - 4 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.4.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- 10 x - 4 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 x - 4 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} y')$

ステップ 3.4.4

$3$ に $3$ をかけます。

$- 10 x - 4 + 9 y^{2} y'$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$9 y^{2} y' - 10 x - 4$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 2 y' = 9 y^{2} y' - 10 x - 4$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $9 y^{2} y'$ を引きます。

$- 2 y' - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

ステップ 5.2

$y'$ を $- 2 y' - 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $- 2 y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 2 - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

ステップ 5.3

$y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ の各項を $- 2 - 9 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ の各項を $- 2 - 9 y^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 2 - 9 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 10 x - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ を $- 10 x - 4$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$2$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 5 x) - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$2$ を $2 (- 5 x) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 5 x - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 1 (2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ を $- (5 x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.6

$- (5 x + 2)$ を $- 1 (5 x + 2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.7

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - 9 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ を $- 9 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - (9 y^{2})}$

ステップ 5.3.3.9

$- 1$ を $- 1 (2) - (9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

ステップ 5.3.3.10

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

ステップ 5.3.3.11

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$

微分積分 例

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