微分積分例

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ および $g (y) = 5 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.6.2

$\frac{1}{3}$ と ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

ステップ 3.7

総和則では、 $5 x - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

ステップ 3.8

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

ステップ 3.10

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

ステップ 3.11

分数をまとめます。

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ステップ 3.11.1

$5 x'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

ステップ 3.11.2

$5$ と $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

ステップ 3.11.3

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x'$ をまとめます。

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ として書き換えます。

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

ステップ 5.2

両辺に $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.3

${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.4

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

微分積分 例

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