微分積分例

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${(e^{2 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 3.3

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

ステップ 5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

ステップ 5.4

分数をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

ステップ 5.4.2

$2$ と $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ をまとめます。

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

ステップ 6.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

ステップ 6.4

$2 e^{2 x}$ を $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1

$2 e^{2 x}$ を $- 4 e^{2 x} x$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

ステップ 6.4.2

$2 e^{2 x}$ を $2 e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

ステップ 6.4.3

$2 e^{2 x}$ を $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

ステップ 6.5

$e^{2 x}$ と $e^{4 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

$e^{4 x}$ を $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

ステップ 6.5.2.4

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 6.8

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

ステップ 6.9

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

ステップ 6.10

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

微分積分 例

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