微分積分例

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 4.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.3

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 4.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 4.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 4.9

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ に $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$2$ を $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

ステップ 4.10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

積の法則を $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.2.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.2.3

簡約します。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.3

$\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ を $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.4

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.5.1

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.5.6.5

簡約します。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.7.1

$2$ と $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.7.2

$\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

ステップ 4.11.3.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.8.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{1}$ を分子に移動させます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

ステップ 4.11.3.8.2

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.8.2.1

$x^{- 1}$ を移動させます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 4.11.3.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.8.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.8.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.8.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.8.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.3.8.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

ステップ 4.11.3.8.2.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11.4

$\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ をかけます。

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

ステップ 4.11.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.5.1

$\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

ステップ 4.11.5.2

$\sqrt{(x - 1) x}$ を移動させます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

ステップ 4.11.5.3

$\sqrt{(x - 1) x}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

ステップ 4.11.5.4

$\sqrt{(x - 1) x}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

ステップ 4.11.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.11.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

ステップ 4.11.5.7

${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ を $(x - 1) x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x - 1) x}$ を ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.11.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.11.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.11.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.11.5.7.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

ステップ 4.11.5.7.5

簡約します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

ステップ 4.11.6

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.6.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

ステップ 4.11.6.2

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

ステップ 4.11.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

ステップ 4.11.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

ステップ 4.11.6.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

ステップ 4.11.6.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

ステップ 4.11.7

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

微分積分 例

微分積分例