微分積分例

$y = x^{4} \sin (x)$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{4} \sin (x))$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln (x^{4} \sin (x))$ を $\ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$ に書き換えます。

$\ln (y) = \ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$

ステップ 2.2

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{4})$ を展開します。

$\ln (y) = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.2

総和則では、 $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.3.3

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.4.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.4.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.4.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \csc (x) \cos (x)$

ステップ 3.2.5

簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{4}{x}$

ステップ 3.2.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

ステップ 3.2.5.2.2

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

ステップ 3.2.5.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{4}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (\cot (x) + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{4} \sin (x)) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

ステップ 5.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$\sin (x)$ を $x^{4} \sin (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

ステップ 5.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $x^{4} \sin (x)$ で因数分解します。

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$y' = \cos (x) x^{4} + 4 (x^{3} \sin (x))$

ステップ 5.5

$\cos (x) x^{4} + 4 x^{3} \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$y' = x^{4} \cos (x) + 4 x^{3} \sin (x)$

微分積分 例

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