微分積分例

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

ステップ 2

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

ステップ 3.2

$3$ を $\sqrt[3]{u}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 5.2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ を $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2

式を書き換えます。

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.5

$u^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例