微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{6 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を ${(3 + x)}^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $81$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + 0)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$- 1$ に $81$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 81}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$81$ から $81$ を引きます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 ${(3 + x)}^{4} - 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 3 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + x$ とします。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $3 + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

総和則では、 $3 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$- 81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 81$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$4 {(3 + x)}^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{1}$

ステップ 2.4

$4 {(3 + x)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} 4 {(3 + x)}^{3}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(3 + x)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

ステップ 5.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

ステップ 5.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

ステップ 5.1.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 2 {(3 + 0)}^{3}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(3 + 0)}^{3}$

ステップ 5.3

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

ステップ 5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$3$ を $3^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 3^{2}$

ステップ 5.5

$3$ を $2$ 乗します。

$2 \cdot 9$

ステップ 5.6

$2$ に $9$ をかけます。

$18$

微分積分 例

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